由 $\mathrm{d}z=x\mathrm{d}x+y\mathrm{d}y$ 可知 $f_x=x,f_y=y$。

积分得 $f(x,y)=\frac{x^2+y^2}{2}+C$，所以 $f(x,y)-f(0,0)=\frac{x^2+y^2}{2}\ge 0$，且仅在 $(0,0)$ 取等号。故 $(0,0)$ 是极小值点，对应选项 D。