由原积分限，$D=\{(x,y):0\le y\le 1,y\le x\le 1\}$，即顶点为 $(0,0),(1,0),(1,1)$ 的三角形。换序后为 $0\le x\le 1$，$0\le y\le x$。
由于 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x}{x}=1$，补充定义后被积函数在闭三角形上连续，可交换积分次序。先积 $y$，区间长度 $x$ 恰好约去分母：

$$\begin{array}{rl}I& ={\int }_0^1\mathrm{d}x{\int }_0^x\frac{\tan x}{x}\mathrm{d}y\\ & ={\int }_0^1\tan x\mathrm{d}x=[-\ln |\cos x|{]}_0^1=-\ln (\cos 1).\end{array}$$

这里 $0\le x\le 1<\frac{\pi }{2}$，故 $\cos x>0$，可以去掉绝对值。