（1）切线方程为 $y-f(b)=f^{\prime }(b)(x-b)$。因 $f^{\prime }(b)>0$，令 $y=0$ 得交点横坐标 $x_0=b-\frac{f(b)}{f^{\prime }(b)}$，故只需证明 $0<\frac{f(b)}{f^{\prime }(b)}<b-a$。
（2）由 $f^{\prime }>0$，$f$ 严格增加，故 $f(b)>f(a)=0$，从而 $x_0<b$。又由 $f^{\prime \prime }>0$，$f^{\prime }$ 严格增加。
（3）$f$ 在 $[a,b]$ 连续、在 $(a,b)$ 可导。由拉格朗日中值定理，存在 $c\in (a,b)$，使

最后一步用了 $c<b$、$f^{\prime }$ 严格增加和 $b-a>0$。除以 $f^{\prime }(b)>0$，得 $\frac{f(b)}{f^{\prime }(b)}<b-a$，于是 $x_0>b-(b-a)=a$。综上 $a<x_0<b$。
（4）几何上，$f^{\prime \prime }>0$ 使曲线严格位于切线之上。特别地在 $x=a$ 有 $0=f(a)>f(b)+f^{\prime }(b)(a-b)$，这也给出第（3）步所需不等式。这里 $f^{\prime \prime }>0$ 是 $f^{\prime }$ 严格增加的充分条件，不能反过来笼统写成等价关系。