记 $u_1=(1,0,-1{)}^T,u_2=(1,0,1{)}^T$。将已知矩阵等式按列拆开，得到 $A{u}_1=-u_1,A{u}_2=u_2$，故 $-1,1$ 是两个特征值。又 $r(A)=2<3$，所以 $0$ 也是特征值。三阶矩阵已有三个互不相同的特征值，因此它们均为单根，每个特征空间均为一维。
设零特征值的特征向量为 $u=(x_1,x_2,x_3{)}^T$。实对称矩阵不同特征值的特征向量正交，所以 $x_1-x_3=0,x_1+x_3=0$，得 $x_1=x_3=0$。两个正交条件确定的空间是一维，而零特征空间也是一维且包含其中，因此两者重合，取 $u_3=(0,1,0{)}^T$。
全部特征向量分别是 $k_1{u}_1,k_2{u}_2,k_3{u}_3$，其中各系数都非零，依次对应特征值 $-1,1,0$。

沿用第一问的 $u_1,u_2,u_3$，其模长为 $\sqrt{2},\sqrt{2},1$，且两两正交。因此 $Q=(\frac{u_1}{\sqrt{2}},\frac{u_2}{\sqrt{2}},u_3)$ 是正交矩阵。令 $\Lambda =\mathrm{diag}(-1,1,0)$，则

该矩阵实对称，第一、三行线性无关而第二行为零，所以秩为 $2$；它将 $(1,0,-1{)}^T$ 映成 $(-1,0,1{)}^T$，将 $(1,0,1{)}^T$ 保持不变，满足原等式。

也可直接用可逆特征向量矩阵。令

$|P|=-2\ne 0$，且列向量依次对应特征值 $-1,1,0$。于是

这里 $P$ 未单位化，必须使用 $P^{-1}$，不能直接用 $P^T$ 代替。