2003 · 数学一 · 第 17 题 · 解答题

设函数

y = y (x)

在

(- \infty, + \infty)

内具有二阶导数，且

y^{'} \neq = 0

，

x = x (y)

是

y = y (x)

的反函数。

(1) 试将 $x = x (y)$ 所满足的微分方程 $\frac{d ^{2} x}{d y ^{2}} + (y + sin x) (\frac{d x}{d y})^{3} = 0$ 变换为 $y = y (x)$ 满足的微分方程；
(2) 求变换后的微分方程满足初始条件 $y (0) = 0, y^{'} (0) = \frac{3}{2}$ 的解。

答案

$y^{''} - y = sin x$

$y = e^{x} - e^{- x} - \frac{1}{2} sin x$

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记 $y^{'} = \frac{d y}{d x}$ 。因 $\frac{d x}{d y} = \frac{1}{y ^{'}}$ ，有 $\frac{d ^{2} x}{d y ^{2}} = - \frac{y ^{''}}{( y ^{'} ) ^{3}}$ 。

代入原方程并乘以 $(y^{'})^{3} \neq = 0$ ，得 $- y^{''} + y + sin x = 0$ ，即 $y^{''} - y = sin x$ 。

由第一问变换得到的方程 $y^{''} - y = sin x$ 的通解为 $y = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{- x} - \frac{1}{2} sin x$ 。

由 $y (0) = 0$ 得 $C_{1} + C_{2} = 0$ ；由 $y^{'} (0) = \frac{3}{2}$ 得 $C_{1} - C_{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ 。

解得 $C_{1} = 1, C_{2} = - 1$ ，故 $y = e^{x} - e^{- x} - \frac{1}{2} sin x$ 。