$P^{T}DP=\left(\begin{array}{cc}A& O\\ O& B-C^T{A}^{-1}C\end{array}\right)$

$B-C^T{A}^{-1}C$是正定矩阵

正定性保证 $A$ 正定，因而 $A^{-1}$ 存在。先算

又因 $A=A^T$，有

。于是

矩阵 $P$ 为块上三角矩阵且对角块为单位矩阵，所以 $P$ 可逆。由 $D$ 正定，任意非零向量 $w$ 都满足 $w^T{P}^{T}DPw=(Pw{)}^{T}DPw>0$，故 $P^{T}DP$ 正定。

取任意非零 $v\in {\mathbb{R}}^n$，令 $w=(0,v{)}^T$。利用第一问结果，

因此 $B-C^T{A}^{-1}C$ 是正定矩阵。