2007 · 数学二 · 第 20 题 · 解答题

已知函数

f (u)

具有二阶导数，且

f^{'} (0) = 1

，函数

y = y (x)

由方程

y - x e^{y - 1} = 1

所确定。设

z = f (ln y - sin x)

，求：

答案

$0$

$1$

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由隐式方程在 $x = 0$ 时得 $y (0) = 1$ 。对

y - x e^{y - 1} = 1

求导，得到

y^{'} (1 - x e^{y - 1}) = e^{y - 1},

所以 $y^{'} (0) = 1$ 。

令 $u (x) = ln y - sin x$ ，则

u^{'} (x) = \frac{y ^{'}}{y} - cos x, u^{'} (0) = 1 - 1 = 0.

由 $z = f (u)$ 得 $z^{'} = f^{'} (u) u^{'}$ ，故

z^{'} (0) = f^{'} (0) u^{'} (0) = 0.

沿用第一问的 $u (x) = ln y - sin x$ 、 $y (0) = y^{'} (0) = 1$ 和 $u (0) = u^{'} (0) = 0$ 。再次对隐式方程求导：

y^{''} - 2 e^{y - 1} y^{'} - x e^{y - 1} ((y^{'})^{2} + y^{''}) = 0.

代入 $x = 0$ 、 $y (0) = 1$ 、 $y^{'} (0) = 1$ ，得到 $y^{''} (0) = 2$ 。

对 $u (x) = ln y - sin x$ 求二阶导数：

u^{''} (x) = \frac{y ^{''}}{y} - (\frac{y ^{'}}{y})^{2} + sin x, u^{''} (0) = 2 - 1 = 1.

又

z^{''} = f^{''} (u) (u^{'})^{2} + f^{'} (u) u^{''},

由于 $u^{'} (0) = 0$ 且 $f^{'} (0) = 1$ ，所以

z^{''} (0) = 1.