先求 $X$ 的分布函数。对 $0<x<3$，$F_X(x)={\int }_0^x\frac{t^2}{9}dt=\frac{x^3}{27}$；在 $x\le 0$ 时为 $0$，$x\ge 3$ 时为 $1$。所以 $P\{X\le 1\}=\frac{1}{27}$，$P\{1<X<2\}=\frac{7}{27}$，$P\{X\ge 2\}=\frac{19}{27}$。
由变换定义，$Y$ 的值在 $[1,2]$ 内，其中 $P\{Y=1\}=\frac{19}{27}$、$P\{Y=2\}=\frac{1}{27}$。按 $F_Y(y)=P\{Y\le y\}$ 分段计算。
当 $y<1$ 时，该事件不可能发生，$F_Y(y)=0$。当 $1\le y<2$ 时，该事件由 $\{X\ge 2\}$ 与 $\{1<X\le y\}$ 两个互斥部分组成，故

当 $y\ge 2$ 时，全部取值都被包含，$F_Y(y)=1$。于是

它在 $1$ 处的跳跃为 $\frac{19}{27}$，在 $2$ 处的跳跃为 $1-\frac{26}{27}=\frac{1}{27}$，与两个点的概率一致。$Y$ 为混合型，不能因 $X$ 连续就断言 $Y$ 也有普通概率密度。

按 $X$ 的三段分别判断。若 $X\le 1$，则 $Y=2>X$，不等式成立；若 $1<X<2$，则 $Y=X$，等号也计入；若 $X\ge 2$，则 $Y=1<X$，不等式不成立。因此 $\{X\le Y\}=\{X<2\}$，从而

也可将前两段概率相加，得 $\frac{1}{27}+\frac{7}{27}=\frac{8}{27}$。中间段全部满足等号，不能遗漏。