1999 · 数学三 · 第 15 题 · 解答题

已知

f (x)

连续，

\int_{0}^{x} t f (x - t) d t = 1 - cos x

，求

\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x

的值。

答案

$1$

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令 $u = x - t$ ，则

\int_{0}^{x} t f (x - t) d t = \int_{0}^{x} (x - u) f (u) d u = 1 - cos x .

由于 $f$ 连续，对两边关于 $x$ 求导，得到

\int_{0}^{x} f (u) d u = sin x .

取 $x = \frac{π}{2}$ ，所求积分为 $1$ 。