记 $A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$、$B=({\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3)$。两向量组等价的充要条件为 $r(A)=r(B)=r(A,B)$。
（1）先计算行列式。对 $A$ 作 $r_3\leftarrow r_3-4r_1$，得

对 $B$ 按第一行展开，得

当 $a\ne \pm 1$ 时，两矩阵都可逆，两组都张成 ${\mathbb{R}}^3$，因而等价。
（2）当 $a=1$ 时，${\alpha }_3=2{\alpha }_1-{\alpha }_2$，而 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 线性无关，故 $r(A)=2$。又

${\beta }_1,{\beta }_2$ 线性无关，且均可由第一组表示，因此 $r(B)=r(A,B)=2$，两组仍等价。
（3）当 $a=-1$ 时，仍有 ${\alpha }_3=2{\alpha }_1-{\alpha }_2$，故第一组的张成空间为 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 张成的平面。若 ${\beta }_1=x{\alpha }_1+y{\alpha }_2$，前两个分量给出 $x+y=1$、$x=1$，故 $y=0$；第三个分量却要求 $4x+4y=2$，矛盾。因此 ${\beta }_1$ 不在第一组张成的空间中，两组不等价。
综上，$a\in \mathbb{R}\setminus \{-1\}$。行列式为零时必须继续讨论，不能直接排除 $a=1$。

设 ${\beta }_3=x{\alpha }_1+y{\alpha }_2+z{\alpha }_3$，按分量列方程：

用第三式减去第一式的 $4$ 倍，得 $(a^2-1)z=a^2-1$。当 $a\ne \pm 1$ 时，$z=1$，再得 $x=1,y=-1$，故

当 $a=1$ 时，第三式不再提供独立条件。令 $z=t$，则 $x=3-2t,y=t-2$，全部表示为

取 $t=1$ 仍得上述统一表示。直接按分量相加，${\alpha }_1-{\alpha }_2+{\alpha }_3=(1,3,a^2+3{)}^T={\beta }_3$，故它对所有允许的 $a\ne -1$ 都适用。