2005 · 数学三 · 第 9 题 · 选择题

下列结论中正确的是（　　）。

A
$\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x ( x + 1 )}$ 与 $\int_{0}^{1} \frac{d x}{x ( x + 1 )}$ 都收敛
B
$\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x ( x + 1 )}$ 与 $\int_{0}^{1} \frac{d x}{x ( x + 1 )}$ 都发散
C
$\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x ( x + 1 )}$ 发散， $\int_{0}^{1} \frac{d x}{x ( x + 1 )}$ 收敛
D
$\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x ( x + 1 )}$ 收敛， $\int_{0}^{1} \frac{d x}{x ( x + 1 )}$ 发散
正确答案

答案

查看解析展开

将被积函数分解为 $\frac{1}{x ( x + 1 )} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1}$ 。对 $R > 1$ ，

\int_{1}^{R} \frac{d x}{x ( x + 1 )} = [ln x - ln (x + 1)]_{1}^{R} = ln \frac{2 R}{R + 1} .

令 $R \to + \infty$ ，上式趋于 $ln 2$ ，所以 $\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x ( x + 1 )}$ 收敛。

在 $0 < x \leq 1$ 上， $\frac{1}{x ( x + 1 )} \geq \frac{1}{2 x}$ ，而 $\int_{0}^{1} \frac{d x}{2 x}$ 发散，故 $\int_{0}^{1} \frac{d x}{x ( x + 1 )}$ 发散。

因此正确结论是第一项收敛、第二项发散，选择 D。