2002 · 数学二 · 第 11 题 · 解答题

已知曲线的极坐标方程是

r = 1 - cos θ

，求该曲线上对应于

θ = \frac{π}{6}

处的切线与法线的直角坐标方程。

答案

$y - x = \frac{5 - 3 3}{4}$

$x + y = \frac{3 - 1}{4}$

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在 $θ = \frac{π}{6}$ 时， $r = 1 - cos θ = 1 - \frac{3}{2}$ ，故该点为 $x_{0} = \frac{2 3 - 3}{4}, y_{0} = \frac{2 - 3}{4}$ 。

极坐标曲线的斜率为

\frac{d y}{d x} = \frac{r ^{'} sin θ + r cos θ}{r ^{'} cos θ - r sin θ},

其中 $r^{'} = sin θ$ 。代入 $θ = \frac{π}{6}$ 得斜率为 $1$ 。

所以切线为 $y - y_{0} = x - x_{0}$ ，即 $y - x = \frac{5 - 3 3}{4}$ 。

由第一问，切线斜率为 $1$ ，因此法线斜率为 $- 1$ 。

过第一问求得的点 $(x_{0}, y_{0})$ 的法线满足 $y - y_{0} = - (x - x_{0})$ ，即 $x + y = x_{0} + y_{0} = \frac{3 - 1}{4}$ 。