特征方程 $r^2-3r+2=0$ 的根为 $1,2$。由于右端 $2{\mathrm{e}}^x$ 与根 $1$ 共振，取特解 $y_p=Cx{\mathrm{e}}^x$，代入得 $-C{\mathrm{e}}^x=2{\mathrm{e}}^x$，故 $C=-2$。于是

已知曲线经过 $(0,1)$，故 $y(0)=1$。给定抛物线在该点的斜率为 $2x-1{|}_{x=0}=-1$，两切线重合给出 $y^{\prime }(0)=-1$。

由 $C_1+C_2=1$ 与 $C_1+2C_2-2=-1$，解得 $C_1=1,C_2=0$。因此 $y=(1-2x){\mathrm{e}}^x$。