$\lambda =-\frac{4}{5}$时无解；$\lambda =1$时有无穷多解；$\lambda \ne 1,-\frac{4}{5}$时有唯一解。

$(x_1,x_2,x_3)=(1,-1,0)+t(0,1,1),t\in \mathbb{R}$

系数行列式为

因此 $\lambda \ne 1,-\frac{4}{5}$ 时有唯一解。

当 $\lambda =1$ 时，第三个系数行等于第一个系数行的 $3$ 倍减去第二个系数行的 $2$ 倍，右端项也满足 $-1=3\cdot 1-2\cdot 2$。此时系数矩阵与增广矩阵秩同为 $2<3$，故有无穷多解。

当 $\lambda =-\frac{4}{5}$ 时，第三个系数行等于第二个系数行的 $-5$ 倍，但对应右端项 $-1\ne -5\cdot 2$。故增广矩阵秩大于系数矩阵秩，方程组无解。

由第一问，无穷多解对应 $\lambda =1$。在 $\lambda =1$ 时，前两式可化为 $x_1=1$、$x_2-x_3=-1$。

令 $x_3=t$，则 $x_2=t-1$。因此通解为