题给二维正态的边缘分布为 $X\sim N(1,1),Y\sim N(0,1)$，相关系数为 $0$。二维正态中不相关等价于独立，因此 $X,Y$ 独立。
将事件分解为两个互斥的异号情形：

正态分布关于均值对称，故 $P\{X>1\}=P\{X<1\}=\frac{1}{2}$，$P\{Y>0\}=P\{Y<0\}=\frac{1}{2}$。由独立性，

不能直接将不等式除以 $Y$，因为 $Y$ 可正可负；等号边界的概率为零。

令 $V=X-1$，则 $V,Y$ 是两个独立标准正态变量。变换 $(V,Y)\mapsto (-V,Y)$ 保持联合分布不变，却交换乘积为正与为负两个事件。又 $P\{VY=0\}=0$，两者概率和为 $1$，所以 $P\{VY<0\}=\frac{1}{2}$。