若 $f\equiv 0$，结论显然成立。以下设 $f$ 不恒为零。由 ${\int }_0^{\pi }f(x)\mathrm{d}x=0$ 及连续性，$f$ 在 $(0,\pi )$ 内既取正值又取负值，因而至少有一个零点。

反设 $(0,\pi )$ 内只有一个零点 $\xi$。则 $f$ 在 $(0,\xi )$ 与 $(\xi ,\pi )$ 上各自不变号；为使积分为零，两侧符号必相反。

函数 $\cos x-\cos \xi$ 在 $(0,\xi )$ 上为正，在 $(\xi ,\pi )$ 上为负。因此 $f(x)(\cos x-\cos \xi )$ 在除 $\xi$ 外的整个区间上保持同一严格符号，其积分不可能为零。

但由题设，

矛盾。故 $(0,\pi )$ 内至少有两个不同的零点。