经行、列置换，可把非零的 $r$ 阶子式 $D$ 放在左上角，记对应可逆矩阵块为 $C$，并写成

。

记 $u_j$ 为 $U$ 的第 $j$ 列，$v_i$ 为 $V$ 的第 $i$ 行。任取 $W$ 中元素 $w_{ij}$，含 $D$ 的相应 $(r+1)$ 阶加边子式等于 $\det C(w_{ij}-v_i{C}^{-1}{u}_j)$。由题设和 $\det C\ne 0$，得 $W=V{C}^{-1}U$。

因此 $A$ 的其余行、列均由这 $r$ 行、列线性表示，$\mathrm{rank}A=r$，故一切 $(r+1)$ 阶子式均为零。原命题正确。