当 $x\to 0$ 时，$(1+a{x}^2{)}^{\frac{1}{3}}-1\sim \frac{a}{3}{x}^2$，而 $\cos x-1\sim -\frac{1}{2}{x}^2$。

两者等价要求其比值趋于 $1$，故 $\frac{\frac{a}{3}}{-\frac{1}{2}}=1$，从而 $a=-\frac{3}{2}$。