（1）准备不等式。由 $e^u>1+u$（$u\ne 0$），对 $t>0$ 分别取 $u=t$ 与 $u=-t$，得 $e^t-1>t$，以及 $e^{-t}>1-t$。后一式乘以 $e^t>0$，整理得 $e^t-1<t{e}^t$，故

（2）归纳证明正性。$x_1>0$。若 $x_n>0$，则递推式可除以 $x_n$，由上述左侧不等式得 $e^{x_{n+1}}=\frac{(e^{x_n}-1)}{x_n}>1$，从而 $x_{n+1}>0$。因此所有项均为正，有下界 $0$。
（3）证明单调性。对 $t=x_n>0$ 使用右侧不等式，得

指数函数严格递增，故 $x_{n+1}<x_n$。由单调有界准则，$\{x_n\}$ 收敛。

由前问，数列收敛且为正，记极限为 $a\ge 0$。下标平移不改变极限，指数函数连续，于递推式两边取极限得 $a{e}^a=e^a-1$。若 $a>0$，前问已经证明 $e^a-1<a{e}^a$，与该等式矛盾。因此只能 $a=0$，且代入等式确实成立，故 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=0$。