令 $g(x)={\mathrm{e}}^{-x^2}f(x)$。由已知等式可得

由积分中值定理，存在 $\eta \in [0,\frac{1}{3}]$，使得 $3{\int }_0^{\frac{1}{3}}g(x)\mathrm{d}x=g(\eta )$，于是 $g(1)=g(\eta )$。因 $\eta <1$，对 $g$ 在 $[\eta ,1]$ 上应用罗尔定理，存在 $\xi \in (\eta ,1)\subset (0,1)$，使 $g^{\prime }(\xi )=0$。

又

且指数因子恒正，所以 $g^{\prime }(\xi )=0$ 即 $f^{\prime }(\xi )=2\xi f(\xi )$。