2004 · 数学一 · 第 7 题 · 选择题

把

x \to 0^{+}

时的无穷小量

α = \int_{0}^{x} cos t^{2} d t

，

β = \int_{0}^{x^{2}} tan t d t

，

γ = \int_{0}^{x} sin t^{3} d t

排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是（　　）。

答案

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当 $x \to 0^{+}$ 时， $cos t^{2} \sim 1$ ，所以 $α \sim x$ 。

由 $tan t \sim t$ ，得 $β \sim \int_{0}^{x^{2}} t d t = \frac{2}{3} x^{3}$ 。

由 $sin t^{3} \sim t^{3}$ ，得 $γ \sim \int_{0}^{x} t^{3} d t = \frac{1}{4} x^{2}$ 。因此阶数为 $α$ 、 $γ$ 、 $β$ ，选 B。