若 $r(A)=n$，则 $A$ 可逆。由 $AB=O$ 左乘 $A^{-1}$ 得 $B=O$，与 $B$ 为非零矩阵矛盾，故 $r(A)<n$。

若 $r(B)=n$，则 $B$ 可逆。由 $AB=O$ 右乘 $B^{-1}$ 得 $A=O$，与 $A$ 为非零矩阵矛盾，故 $r(B)<n$。因此两者的秩都小于 $n$，选 B。