（1）底数 $x+2^x\to 1$，故在零点的某邻域内为正，可以取对数。设 $w=x+(2^x-1)$，由 $2^x-1=x\ln 2+o(x)$，得 $w=x(1+\ln 2)+o(x)$。
（2）由于 $1+\ln 2\ne 0$，结合 $\ln (1+w)\sim w$，有

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2\ln (x+2^x)}{x}=2(1+\ln 2).$$

（3）原式等于 $\exp [2\frac{\ln (x+2^x)}{x}]$。由指数函数连续性，所求极限为 $e^{2(1+\ln 2)}=e^2\cdot 2^2=4e^2$。这里指数 $\frac{2}{x}$ 在两侧符号不同，不能写双侧趋于正无穷；取对数后的有限双侧极限已足够。

底数在零点附近为正，仍先求对数的极限。$\frac{\ln (x+2^x)}{x}$ 为 $\frac{0}{0}$ 型，分子分母可导，分母导数为 $1$，且导数之比极限存在。由洛必达法则，

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2\ln (x+2^x)}{x}=2\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1+2^x\ln 2}{x+2^x}=2(1+\ln 2).$$

因此原极限为 $e^{2(1+\ln 2)}=4e^2$。