当 $x\to (\frac{\pi }{2}{)}^{-}$ 时，$\tan x\to +\infty$，而 $x$ 与 ${\mathrm{e}}^{\sin x}$ 均趋于正的有限值，故 $f(x)\to +\infty$。因此 $f$ 在其定义域上无界。

因此选 B。