（1）取 $x>0$，设 $M=(x,f(x))$，$P=(x,0)$。由 $f(0)=0$、连续性及 $f^{\prime }>0$，有 $f(x)>0$。记曲边区域面积为 $F(x)={\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t>0$。切线与 $x$ 轴交点为 $T=(x-\frac{f}{f^{\prime }},0)$，所以三角形面积为 $\frac{f^2}{(2f^{\prime })}$。
由面积比 $3:2$，得

（2）题设仅给可导，先说明可以再次求导：由上式 $f^{\prime }=\frac{3f^2}{(4F)}$，而 $F>0$、$F^{\prime }=f$，右端可导，因此 $f^{\prime }$ 可导。对原式求导，得 $4f^{\prime \prime }F+4f^{\prime }f=6f{f}^{\prime }$，即 $4f^{\prime \prime }F=2f{f}^{\prime }$。再用 $F=\frac{3f^2}{(4f^{\prime })}$ 消去积分，并利用 $f,f^{\prime }>0$ 约分，得到 $3f{f}^{\prime \prime }=2(f^{\prime }{)}^2$。
（3）除以 $f{f}^{\prime }>0$，有 $\frac{3f^{\prime \prime }}{f^{\prime }}=\frac{2f^{\prime }}{f}$。两侧积分，得 $3\ln f^{\prime }=2\ln f+c$，故 $f^{\prime }=a{f}^{\frac{2}{3}}$，其中 $a={\mathrm{e}}^{\frac{c}{3}}>0$。再分离变量积分，得到 $3f^{\frac{1}{3}}=ax+b$。由 $x\to 0+$ 时 $f(x)\to 0$，得 $b=0$，于是 $f(x)=C{x}^3$，$C=\frac{a^3}{27}>0$。
（4）回代原面积关系：$f^{\prime }=3C{x}^2>0$（$x>0$），且 $f(0)=0$；两面积分别为

故 $\frac{S_1}{S_2}=\frac{3}{2}$，原条件成立，且任意 $C>0$ 都可以。原点处两面积均为零，面积比只对题设的 $x>0$ 定义，不能在原点直接作比。