令$u=\arcsin \sqrt{x}$。在$0<x<1$内，

所以$\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x(1-x)}}=2\mathrm{d}u$。将积分先限制在$[a,b]\subset (0,1)$，换元得

令$a\to 0^{+}$、$b\to 1^{-}$，右侧趋于$(\frac{\pi }{2}{)}^2$，同时证明端点反常积分收敛。因此$I=\frac{{\pi }^2}{4}$，选A。关键是换元产生的因子$2$不能漏掉。

先令$t=\sqrt{x}$，则$x=t^2$、$\mathrm{d}x=2t\mathrm{d}t$、$\sqrt{x(1-x)}=t\sqrt{1-t^2}$，上下限对应$0,1$。因此按端点极限理解，

故选A。