将 $\frac{1}{n^2}$ 拆成两个 $\frac{1}{n}$，其中一个与系数 $k$ 合并，得

$$\frac{1}{n^2}\sum _{k=1}^{n}k\sin \frac{k}{n}=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{k}{n}\sin \frac{k}{n}.$$

函数 $f(x)=x\sin x$ 在 $[0,1]$ 连续，右侧是区间 $n$ 等分、取右端点的黎曼和，故原极限为 ${\int }_0^{1}x\sin x\mathrm{d}x$。
分部积分取 $u=x$、$\mathrm{d}v=\sin x\mathrm{d}x$，则 $v=-\cos x$，得到

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{1}x\sin x\mathrm{d}x& =[-x\cos x{]}_0^1+{\int }_0^1\cos x\mathrm{d}x\\ & =-\cos 1+[\sin x{]}_0^1=\sin 1-\cos 1.\end{array}$$

所以所求极限为 $\sin 1-\cos 1$。不能把和式中的 $\sin (\frac{k}{n})$ 统一替换成 $\frac{k}{n}$，因为 $\frac{k}{n}$ 覆盖至 $1$，并非所有取值都趋于零。