要使函数在全体实数上连续，必须有 $c>0$。当 $c=0$ 时，$x\to 0$ 且 $x\ne 0$ 时 $f(x)=\frac{2}{|x|}$ 发散；当 $c<0$ 时，$x=0$ 处由分式给出的函数无定义。

当 $c>0$ 时，除分界点 $x=\pm c$ 外，两段函数都连续。在 $x=\pm c$ 处，分段内的函数值为 $c^2+1$，分段外侧的极限为 $\frac{2}{c}$，因此连续条件为

整理得 $c^3+c-2=0$，并因式分解为 $(c-1)(c^2+c+2)=0$。其中 $c^2+c+2={\left(c+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{7}{4}>0$，所以只能取 $c=1$。此时在 $x=\pm 1$ 处两侧都趋于 $2$，函数确实连续。