（1）差分定义给出 $y_{t+1}-y_t=t$。齐次方程 $Y_{t+1}=Y_t$ 的解为常数 $C$。一次多项式的差分只有常数，不能产生右端 $t$，所以设二次特解 $y_t^{\ast }=a{t}^2+bt$，常数项可并入齐次解。
（2）代入得

比较系数得 $2a=1,a+b=0$，因此 $a=\frac{1}{2},b=-\frac{1}{2}$，特解为 $\frac{t(t-1)}{2}$，通解为 $y_t=\frac{t(t-1)}{2}+C$。
（3）核对：$y_{t+1}-y_t=\frac{[t(t+1)-t(t-1)]}{2}=t$。任何两解之差为常数，故通解完整。

对非负整数下标，将 $y_{s+1}-y_s=s$ 从 $s=0$ 到 $t-1$ 求和，左端裂项相消，得到

令任意常数 $C=y_0$，得 $y_t=\frac{t(t-1)}{2}+C$；$t=0$ 时由空和亦成立。直接作一次差分得 $t$，所以符合原方程；若下标取全体整数，同一公式也可由递推向负方向延伸。