1987 · 数学二 · 第 6 题 · 解答题

计算定积分

\int_{- 2}^{2} (∣ x ∣ + x) e^{- ∣ x ∣} d x

。

答案

$2 - 6 e^{- 2}$

查看解析展开

当 $x < 0$ 时， $∣ x ∣ = - x$ ，所以 $∣ x ∣ + x = 0$ ；当 $x \geq 0$ 时， $∣ x ∣ = x$ ，所以原积分化为

2 \int_{0}^{2} x e^{- x} d x .

由分部积分， $\int x e^{- x} d x = - (x + 1) e^{- x} + C$ 。因此

2 \int_{0}^{2} x e^{- x} d x = 2 [- (x + 1) e^{- x}]_{0}^{2} = 2 - 6 e^{- 2} .