$\Lambda =\mathrm{diag}(k^2,(k+2{)}^2,(k+2{)}^2)$

$k\in \mathbb{R}\setminus \{-2,0\}$

矩阵 $A$ 为实对称矩阵。向量 $(1,0,-1{)}^T$ 对应特征值 $0$，而 $(1,0,1{)}^T$ 与 $(0,1,0{)}^T$ 对应特征值 $2$。

因此 $A$ 正交相似于 $\mathrm{diag}(0,2,2)$。对多项式 $(k+x{)}^2$ 作用于这些特征值，得到 $B$ 相似于 $\Lambda =\mathrm{diag}(k^2,(k+2{)}^2,(k+2{)}^2)$。

矩阵 $B$ 为实对称矩阵，故其正定当且仅当三个特征值都严格为正。

代入第一问所得特征值，条件为 $k^2>0$ 且 $(k+2{)}^2>0$，即 $k\ne 0$ 且 $k\ne -2$。因此 $k\in \mathbb{R}\setminus \{-2,0\}$。