1997 · 数学二 · 第 12 题 · 解答题

设

y = y (x)

由方程组

{x = arctan t 2 y - t y^{2} + e^{t} = 5

所确定，求

\frac{d y}{d x}

。

答案

$\frac{d y}{d x} = \frac{( 1 + t ^{2} ) ( y ^{2} - e ^{t} )}{2 ( 1 - t y )}$ （在 $1 - t y \neq = 0$ 处）

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由 $x = arctan t$ ，得 $\frac{d x}{d t} = \frac{1}{1 + t ^{2}}$ 。

对 $2 y - t y^{2} + e^{t} = 5$ 关于 $t$ 求导：

(2 - 2 t y) \frac{d y}{d t} - y^{2} + e^{t} = 0.

因而在 $1 - t y \neq = 0$ 处， $\frac{d y}{d t} = \frac{y ^{2} - e ^{t}}{2 ( 1 - t y )}$ 。

由参数求导公式，

\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}} = \frac{( 1 + t ^{2} ) ( y ^{2} - e ^{t} )}{2 ( 1 - t y )} .