（1）先检查对角形的第一列。上三角可逆矩阵 $Q$ 的第一列为 $(q_{11},0,0{)}^{\mathrm{T}}$，其中 $q_{11}\ne 0$。因此 $PAQ$ 的第一列为 $q_{11}P{\alpha }_1$，这里 ${\alpha }_1=(1,2,-1{)}^{\mathrm{T}}$。要成为对角矩阵，$P{\alpha }_1$ 的第二、三分量必须为零。A 中 $P=E$，第二分量为 $2$，排除；D 中 $P{\alpha }_1=(1,2,6{)}^{\mathrm{T}}$，同样排除。

（2）检查 B、C。两项使用相同的 $P=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& -1& 0\\ -3& 2& 1\end{array}\right)$。左乘时，第一行保持不变，第二行等于原第一行的两倍减第二行，第三行等于原第一行的 $-3$ 倍加第二行的两倍及第三行。因此

其中第三行由 $-3(1,0,-1)+2(2,-1,1)+(-1,2,-5)=(0,0,0)$ 得到。B 中 $Q=E$，所得矩阵仍有非零非对角元，故排除。

（3）验证 C。其 $Q=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 3\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$，右乘使第三列变为原第一列加三倍第二列再加第三列，即 $(1,0,0{)}^{\mathrm{T}}+3(0,1,0{)}^{\mathrm{T}}+(-1,-3,0{)}^{\mathrm{T}}=0$，前两列不变，故 $PAQ=\mathrm{diag}(1,1,0)$。同时 $P$ 为下三角、$|P|=-1\ne 0$，$Q$ 为上三角、$|Q|=1\ne 0$，全部条件满足，选 C。原矩阵第三行等于三倍第一行减二倍第二行，前两行独立，故秩为 $2$，与所得对角形一致。