初值点满足 $x>0$。令 $y=vx$，则 $y^{\prime }=v+x{v}^{\prime }$。代入方程并约去相同项，得到 $v{v}^{\prime }=\frac{1}{x}$。

积分得 $v^2=2\ln x+C$。由 $y(\mathrm{e})=2\mathrm{e}$ 得 $v(\mathrm{e})=2$，故 $C=2$。

初值处取正支，所以 $y=x\sqrt{2(1+\ln x)}$。为保持根号内为正且使原方程在解上成立，其包含初值点的最大区间为 $x>{\mathrm{e}}^{-1}$。