2004 · 数学三 · 第 10 题 · 选择题

设

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 1, 0, - 1, x > 0, x = 0, x < 0,

，

F (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t

，则（　　）。

答案

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由定义直接积分，得到

F (x) = ⎩ ⎨ ⎧ - x, 0, x, x < 0, x = 0, x > 0, = ∣ x ∣

。所以 $F$ 在全体实数上连续。

当 $x \neq = 0$ 时有 $F^{'} (x) = f (x)$ 。但在 $x = 0$ 处，右导数为 $1$ ，左导数为 $- 1$ ，故 $F$ 在此处不可导。正确选项为 $B$ 。