定义域为 $(0,+\infty )$，求导得 $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{x-1}{x^2}$。因此 $f$ 在 $(0,1)$ 上严格递减，在 $(1,+\infty )$ 上严格递增，故全局最小值为 $f(1)=1$。即对任意 $x>0$，有 $\ln x+\frac{1}{x}\ge 1$，且等号当且仅当 $x=1$ 成立。

题设对每个 $n$ 成立，故 $x_n>0$。将（1）的最值不等式用于 $x_{n+1}$，结合题设有

消去相同项，得 $\ln x_n<\ln x_{n+1}$。由对数函数严格递增可知 $x_n<x_{n+1}$，即数列严格递增。
又因 $\frac{1}{x_{n+1}}>0$，题设给出 $\ln x_n<1$，故 $x_n<e$，数列有上界。由单调有界准则，极限存在。记 $a=\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$，则 $a\ge x_1>0$，且 $x_{n+1}\to a$。
对题设不等式取极限，利用对数及倒数在正数处连续，得 $\ln a+\frac{1}{a}\le 1$。而（1）又给出 $\ln a+\frac{1}{a}\ge 1$，所以必须取等号。由等号条件，$a=1$，即所求极限为 $1$。注意严格不等式取极限后只能保留非严格不等号。