记 $D=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$ 为微分算子。齐次项 $c_1{\mathrm{e}}^x+c_2{\mathrm{e}}^{-2x}$ 对应算子 $(D-1)(D+2)=D^2+D-2$，所以齐次算子为 $L[y]=y^{\prime \prime }+y^{\prime }-2y$。

对特解项 $x{\mathrm{e}}^x$，直接计算得

因此 $y^{\prime \prime }+y^{\prime }-2y=3{\mathrm{e}}^x$，选 D。