1993 · 数学三 · 第 17 题 · 解答题

设二次型

f = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + 2 α x_{1} x_{2} + 2 β x_{2} x_{3} + 2 x_{1} x_{3}

经正交变换

X = P Y

化成

f = y_{2}^{2} + 2 y_{3}^{2}

，其中

X = (x_{1}, x_{2}, x_{3})^{T}

和

Y = (y_{1}, y_{2}, y_{3})^{T}

是三维列向量，

P

是3阶正交矩阵。求常数

α, β

。

答案

$α = 0, β = 0$

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二次型的对称矩阵为

A = 1 α 1 α 1 β 1 β 1 .

正交变换后的对角矩阵为 $diag (0, 1, 2)$ ，故 $A$ 的特征值为 $0, 1, 2$ 。

于是 $tr (A^{2}) = 0^{2} + 1^{2} + 2^{2} = 5$ 。直接计算得

tr (A^{2}) = 3 + 2 (α^{2} + β^{2} + 1) = 5 + 2 α^{2} + 2 β^{2} .

因 $α, β$ 为实数，故只能有 $α = β = 0$ 。

此时

A = 101010101

的特征值确为 $0, 1, 2$ ，满足题设。