（1）按前向差分定义，$\Delta y_x=y_{x+1}-y_x$，于是

代入原式，$y_x$ 项相消，得到 $y_{x+2}-2y_{x+1}=5$。令 $z_n=y_{n+1}$，则原式等价于 $z_{n+1}-2z_n=5$。先求被此递推约束的连续下标段。
（2）齐次方程的通解为 $C{2}^x$。非齐次项为常数，设常数特解 $y_x^{\ast }=A$，代入得 $A-2A=5$，所以 $A=-5$。因此 $z_n=C_0{2}^n-5$。换回 $y_x=z_{x-1}$，把系数 $\frac{C_0}{2}$ 记为 $C$，得到标准填空形式 $y_x=C{2}^x-5$，适用于方程涉及的连续递推段。
（3）直接核对原式：$\Delta y_x=C{2}^x$、${\Delta }^2{y}_x=C{2}^x$，故 ${\Delta }^2{y}_x-y_x=5$。
下标边界需注意：若另行限定原递推只对 $x=0,1,\dots$ 成立，则上式确定的是 $x\ge 1$ 的部分，$y_0$ 在原式中完全相消，可独立指定；不能在这种单边设定下未经说明把递推外推到 $x=-1$。