2020 · 数学三 · 第 14 题 · 填空题

余数 $Y$ 只可能取 $0, 1, 2$ 。分别把 $X$ 的取值按除以 $3$ 的余数分组，每组为公比 $\frac{1}{8}$ 的等比级数：

P {Y = 1} = m = 0 \sum \infty 2^{- (3 m + 1)} = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{8}} = \frac{4}{7},

P {Y = 2} = m = 0 \sum \infty 2^{- (3 m + 2)} = \frac{\frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{8}} = \frac{2}{7},

P {Y = 0} = m = 1 \sum \infty 2^{- 3 m} = \frac{\frac{1}{8}}{1 - \frac{1}{8}} = \frac{1}{7} .

第三组从 $X = 3$ 开始，因为题设 $X$ 不能取 $0$ 。三概率之和为 $1$ ，所以

E (Y) = 0 \cdot \frac{1}{7} + 1 \cdot \frac{4}{7} + 2 \cdot \frac{2}{7} = \frac{8}{7} .

求余数是非线性运算，不能先算 $E (X)$ 再对其取余数。

答案