1989 · 数学一 · 第 11 题 · 解答题

设

z = f (2 x - y) + g (x, x y)

，其中函数

f (t)

二阶可导，

g (u, v)

具有连续的二阶偏导数，求

\frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y}

。

答案

$- 2 f^{''} (2 x - y) + g_{v} (x, x y) + x g_{uv} (x, x y) + x y g_{v v} (x, x y)$

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先对 $y$ 求偏导。令 $u = x, v = x y$ ，则

z_{y} = - f^{'} (2 x - y) + x g_{v} (x, x y) .

再对 $x$ 求偏导，注意 $v_{x} = y$ ，得到

\frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y} = - 2 f^{''} (2 x - y) + g_{v} (x, x y) + x g_{uv} (x, x y) + x y g_{v v} (x, x y) .