记 $F(x)={\int }_1^{x}f(u)\mathrm{d}u$，则原条件为

因 $f$ 连续，等式两端可对 $t$ 求导，得到

令 $t=1$，并利用 $f(1)=\frac{5}{2}$，得

该式也说明 $f$ 在 $(0,+\infty )$ 内可导。两边对 $x$ 求导，有

因而 $f^{\prime }(x)=\frac{5}{2x}$。

积分并使用 $f(1)=\frac{5}{2}$，得到

此时 $F(x)=\frac{5}{2}x\ln x$，直接代入可验证 $F(xt)=tF(x)+xF(t)$，故所得函数满足原条件。