2006 · 数学一 · 第 23 题 · 解答题

设总体

X

的概率密度为

f (x, θ) = ⎩ ⎨ ⎧ θ, 1 - θ, 0, 0 < x < 1, 1 \leq x < 2, 其他,

其中

θ

是未知参数

(0 < θ < 1)

，

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

为来自总体

X

的简单随机样本，记

N

为样本值

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}

中小于

1

的个数，求

θ

的最大似然估计。

答案

$θ^= \frac{N}{n} (0 < N < n)$ ；当 $N = 0$ 或 $N = n$ 时，在参数空间 $0 < θ < 1$ 内不存在最大值，只有分别趋向边界 $0$ 或 $1$ 的上确界。

解析

样本中有 $N$ 个观测值小于 $1$ ，所以似然函数为

L (θ) = θ^{N} (1 - θ)^{n - N}, 0 < θ < 1.

当 $0 < N < n$ 时，

\frac{d}{d θ} ln L (θ) = \frac{N}{θ} - \frac{n - N}{1 - θ} = 0

给出 $θ^= \frac{N}{n}$ ；对数似然严格凹，故这是最大值点。

边界情形必须单独处理： $N = 0$ 时 $L (θ) = (1 - θ)^{n}$ 在 $(0, 1)$ 上递减， $N = n$ 时 $L (θ) = θ^{n}$ 在 $(0, 1)$ 上递增。由于参数空间不含 $0, 1$ ，这两种情形均不存在最大似然估计，只分别有趋向 $0$ 或 $1$ 的上确界。