1994 · 数学三 · 第 13 题 · 解答题

已知

f (x, y) = x^{2} arctan \frac{y}{x} - y^{2} arctan \frac{x}{y}

，求

\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y}

。

答案

$\frac{x ^{2} - y ^{2}}{x ^{2} + y ^{2}}$

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在原函数有定义的点，先对 $y$ 求偏导：

\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x ^{3}}{x ^{2} + y ^{2}} - 2 y arctan \frac{x}{y} + \frac{x y ^{2}}{x ^{2} + y ^{2}} = x - 2 y arctan \frac{x}{y} .

再对 $x$ 求偏导，得到

\frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y} = 1 - \frac{2 y ^{2}}{x ^{2} + y ^{2}} = \frac{x ^{2} - y ^{2}}{x ^{2} + y ^{2}} .