2000 · 数学三 · 第 18 题 · 解答题

设有

n

元实二次型

f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = (x_{1} + a_{1} x_{2})^{2} + (x_{2} + a_{2} x_{3})^{2} + \dots + (x_{n - 1} + a_{n - 1} x_{n})^{2} + (x_{n} + a_{n} x_{1})^{2}

，其中

a_{i} (i = 1, 2, \dots, n)

为实数。试问：当

a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}

满足何种条件时，二次型

f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})

为正定二次型？

答案

$a_{1} a_{2} \dots a_{n} \neq = (- 1)^{n}$

解析

令 $M x = (x_{1} + a_{1} x_{2}, \dots, x_{n - 1} + a_{n - 1} x_{n}, x_{n} + a_{n} x_{1})^{T}$ ，则 $f (x) = ∥ M x ∥^{2}$ 。因此 $f$ 正定当且仅当 $M$ 可逆。

当 $n = 1$ 时， $M = (1 + a_{1})$ ，行列式为 $1 + a_{1}$ 。当 $n \geq 2$ 时，矩阵 $M$ 的行列式只有恒等排列项与首尾相接的循环排列项，故 $det M = 1 + (- 1)^{n - 1} a_{1} a_{2} \dots a_{n}$ 。于是 $M$ 可逆当且仅当 $a_{1} a_{2} \dots a_{n} \neq = (- 1)^{n}$ ，这就是所求充分必要条件。