2007 · 数学一 · 第 6 题 · 选择题

设曲线

L : f (x, y) = 1

（

f (x, y)

具有一阶连续偏导数）过第Ⅱ象限内的点

M

和第Ⅳ象限内的点

N

，

Γ

为

L

上从点

M

到点

N

的一段弧，则下列积分小于零的是（　　）。

答案

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曲线上 $f (x, y) = 1$ ，且从第二象限的 $M$ 到第四象限的 $N$ 有

\int_{Γ} f d x = x_{N} - x_{M} > 0, \int_{Γ} f d y = y_{N} - y_{M} < 0.

另外 $\int_{Γ} f d s = length (Γ) > 0$ 。

因为 $f = 1$ 在 $L$ 上恒定，

\int_{Γ} (f_{x}^{'} d x + f_{y}^{'} d y) = \int_{Γ} d f = f (N) - f (M) = 0.

所以小于零的是 B。