2011 · 数学二 · 第 13 题 · 填空题

圆的方程为 $x^{2} + (y - 1)^{2} = 1$ ，与直线 $y = x$ 交于 $(0, 0), (1, 1)$ ，与 $y$ 轴交于 $(0, 0), (0, 2)$ 。取由这三条边界围成、位于第一象限的区域，即圆内 $y = x$ 与正 $y$ 轴之间的部分。
令 $x = r cos θ$ ， $y = r sin θ$ ，则圆周化为 $r = 2 sin θ$ ，两条直线分别为 $θ = \frac{π}{4}$ 、 $θ = \frac{π}{2}$ 。故 $\frac{π}{4} \leq θ \leq \frac{π}{2}$ ， $0 \leq r \leq 2 sin θ$ ，且 $d σ = r d r d θ$ ，于是

I = \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} d θ \int_{0}^{2 s i n θ} r^{3} sin θ cos θ d r = \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} sin θ cos θ [\frac{r ^{4}}{4}]_{0}^{2 s i n θ} d θ = 4 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} sin^{5} θ cos θ d θ = \frac{2}{3} [sin^{6} θ]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} = \frac{2}{3} (1 - \frac{1}{8}) = \frac{7}{12} .

角度下限是 $\frac{π}{4}$ ，不能取 $0$ ；后一取法会引入以 $x$ 轴为边界的另一块区域。

答案