1996 · 数学一 · 第 8 题 · 选择题

设

a_{n} > 0

（

n = 1, 2, \dots

），且

n = 1 \sum \infty a_{n}

收敛，常数

λ \in (0, \frac{π}{2})

，则级数

n = 1 \sum \infty (- 1)^{n} (n tan \frac{λ}{n}) a_{2 n}

（　　）。

答案

查看解析展开

函数 $\frac{tan t}{t}$ 在 $(0, \frac{π}{2})$ 上递增。因 $0 < \frac{λ}{n} \leq λ$ ，有

0 < n tan \frac{λ}{n} = λ \frac{tan ( \frac{λ}{n} )}{\frac{λ}{n}} \leq tan λ .

于是

n = 1 \sum \infty (- 1)^{n} (n tan \frac{λ}{n}) a_{2 n} \leq tan λ n = 1 \sum \infty a_{2 n} < \infty.

所给级数绝对收敛，选择 A。