2017 · 数学一 · 第 12 题 · 填空题

幂级数

n = 1 \sum \infty (- 1)^{n - 1} n x^{n - 1}

在区间

(- 1, 1)

内的和函数

S (x) =

。

答案

$\frac{1}{( 1 + x ) ^{2}}$

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在 $∣ x ∣ < 1$ 内，等比级数的公比为 $- x$ ，故

n = 1 \sum \infty (- 1)^{n - 1} x^{n} = \frac{x}{1 + x} .

幂级数在收敛区间内部可以逐项求导，因而

S (x) = (n = 1 \sum \infty (- 1)^{n - 1} x^{n})^{'} = (\frac{x}{1 + x})^{'} = \frac{( 1 + x ) - x}{( 1 + x ) ^{2}} = \frac{1}{( 1 + x ) ^{2}}, - 1 < x < 1.