1991 · 数学三 · 第 21 题 · 解答题

一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口。每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号显示的时间相等。以

X

表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口个数。

答案

$P (X = 0) = \frac{1}{2}, P (X = 1) = \frac{1}{4}, P (X = 2) = \frac{1}{8}, P (X = 3) = \frac{1}{8}$

$\frac{67}{96}$

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各路口红、绿灯概率均为 $\frac{1}{2}$ ，且相互独立。 $X = 0, 1, 2$ 分别对应红、绿红、绿绿红； $X = 3$ 对应三个路口全为绿灯。

因此

P (X = 0) = \frac{1}{2}, P (X = 1) = \frac{1}{4}, P (X = 2) = \frac{1}{8}, P (X = 3) = \frac{1}{8} .

这些概率之和为 $1$ ，故给出了完整分布。

由第一问的分布，

E (\frac{1}{1 + X}) = 1 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{8} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{2} + \frac{1}{8} + \frac{1}{24} + \frac{1}{32} = \frac{67}{96} .